망델브로 집합 탐색기
망델브로 집합을 확대해 봅니다
이 계산기에 대하여
망델브로 집합 탐색기로 망델브로 집합을 확대해 볼 수 있습니다. 망델브로 집합은 z를 z의 제곱에 c를 더한 값으로 바꾸는 반복에서 궤도가 유계로 남는 복소수 c의 집합입니다. 중심점, 확대 배율, 반복 횟수를 입력하면 해당 점 주변의 프랙털을 렌더링하고 그 점을 분류합니다. 점이 주 심장형이나 주기 2 구근 안에 있으면 소속을 정확히 증명하고, 그렇지 않으면 반복 계산으로 탈출 반복 횟수와 최종 절댓값을 구합니다. 모든 화면은 URL로 공유할 수 있어 복소 동역학과 프랙털 학습에 활용할 수 있습니다.
망델브로 집합 탐색 방법
- 중심점을 실수부와 허수부로 입력하세요.
- 확대 배율을 설정하세요. 값이 클수록 프랙털 속으로 더 깊이 들어갑니다.
- 경계 부근을 더 자세히 보려면 반복 횟수를 늘리세요.
- 중심점의 판정 결과를 확인하고, 링크를 복사해 화면을 공유하세요.
대표적인 예
- c = 0 → 주 심장형 안 (주기 1), 궤도가 0에 머묾
- c = −1 → 주기 2 구근 안, 궤도가 0, −1, 0, −1로 순환
- c = 2 → |z|가 한없이 커지며 2번째 반복에서 탈출
- 중심 −0.5, 확대 1 → 집합 전체를 보여 주는 대표적인 화면
- 중심 −0.743 + 0.113i, 확대 2000 → 경계 깊숙한 곳의 나선
자주 묻는 질문
망델브로 집합이란 무엇인가요?
z = 0에서 시작하여 z를 z의 제곱에 c를 더한 값으로 바꾸는 수열이 무한대로 발산하지 않는 복소수 c의 집합입니다. 안쪽의 점은 유계로 남고, 바깥쪽의 점은 탈출합니다.
이 계산기는 점이 집합에 속하는지 어떻게 판단하나요?
주 심장형과 주기 2 구근이라는 두 큰 영역은 정확한 소속 판정 공식이 있으므로, 그 안의 점은 집합에 속한다는 것이 증명됩니다. 그 밖의 점은 설정한 반복 횟수만큼 반복 계산하며, 절댓값이 한 번도 2를 넘지 않으면 유계로 표시합니다.
탈출 반복 횟수는 무엇을 의미하나요?
z의 절댓값이 처음으로 2를 넘는 단계입니다. 궤도가 반지름 2를 넘으면 반드시 발산하므로, 탈출 반복 횟수가 작을수록 점이 집합을 더 빨리 벗어난다는 뜻이며, 색상 그라데이션이 이를 나타냅니다.
깊은 확대가 제한되는 이유는 무엇인가요?
그림은 일반적인 배정밀도 숫자로 평면을 샘플링하는데, 대략 1조 배 이상 확대하면 정확도가 떨어집니다. 그래서 그림이 정확하게 유지되도록 확대 배율을 그 수준으로 제한합니다.