Множество Мандельброта

Увеличивайте и исследуйте множество Мандельброта

Об этом калькуляторе

Инструмент «Множество Мандельброта» позволяет приближать множество Мандельброта — комплексные числа c, орбита которых при отображении z в z в квадрате плюс c остаётся ограниченной. Введите центральную точку, коэффициент масштаба и лимит итераций: фрактал будет построен вокруг вашей точки, а сама точка классифицирована — принадлежность строго доказывается, если она лежит в главной кардиоиде или круге периода 2, а иначе выполняются итерации, чтобы найти итерацию ухода и итоговый модуль. Любым видом можно поделиться по ссылке — удобно для изучения комплексной динамики и фракталов.

Как исследовать множество Мандельброта

  1. Введите центральную точку: действительную и мнимую части.
  2. Задайте коэффициент масштаба — чем он больше, тем глубже погружение во фрактал.
  3. Увеличьте лимит итераций, чтобы получить больше деталей у границы.
  4. Посмотрите вывод для центральной точки и поделитесь видом, скопировав ссылку.

Типичные примеры

  • c = 0 → в главной кардиоиде (период 1); орбита остаётся в 0
  • c = −1 → в круге периода 2; орбита циклически проходит 0, −1, 0, −1
  • c = 2 → уходит на итерации 2, |z| неограниченно растёт
  • Центр −0,5, масштаб 1 → классический вид всего множества
  • Центр −0,743 + 0,113i, масштаб 2000 → глубокая спираль на границе

Часто задаваемые вопросы

Что такое множество Мандельброта?

Это множество комплексных чисел c, для которых последовательность z → z в квадрате плюс c, начинающаяся с z = 0, никогда не уходит на бесконечность. Точки внутри остаются ограниченными, точки снаружи уходят.

Как калькулятор определяет, принадлежит ли точка множеству?

Для двух больших областей — главной кардиоиды и круга периода 2 — есть точные формулы принадлежности, поэтому для точек внутри них принадлежность доказана. Любая другая точка итерируется до заданного лимита итераций; если модуль ни разу не превысил 2, точка считается ограниченной.

Что означает итерация ухода?

Это первый шаг, на котором модуль z превышает 2. Как только орбита выходит за радиус 2, она гарантированно расходится, поэтому чем меньше итерация ухода, тем быстрее точка покидает множество — именно это и показывает цветовой градиент.

Почему глубина увеличения ограничена?

Изображение строится на обычных числах двойной точности, которые теряют точность примерно после увеличения в триллион раз. Поэтому калькулятор ограничивает масштаб этим значением, чтобы картинка оставалась достоверной.