Модульная арифметика

Остаток по модулю, обратный по модулю элемент и свойства

17 mod 5 · a⁻¹ such that a · a⁻¹ ≡ 1 (mod 5)

a mod m

Наименьший неотрицательный вычет, в диапазоне от 0 до m − 1

НОД(a, m)

Взаимно просты

Да — a обратимо по модулю m

Обратный по модулю a⁻¹ (mod m)

a · a⁻¹ ≡ 1 (mod m)

Соотношение Безу

17·(-2) + 5·(7) = 1

Об этом калькуляторе

Калькулятор модульной арифметики приводит целое число a по модулю m к наименьшему неотрицательному вычету в [0, m), вычисляет gcd(a, m) и находит обратный элемент a⁻¹ (mod m) с помощью расширенного алгоритма Евклида, если a и m взаимно простые. Он также показывает коэффициенты Безу x, y, для которых a·x + m·y = gcd(a, m). Отрицательные числа корректно приводятся к неотрицательному вычету, а если обратного элемента не существует, вместо искусственного ответа показывается общий делитель.

«Модульная арифметика»: как пользоваться

Введите значения для вашей задачи в поля ввода.
Посмотрите результат — он обновляется мгновенно по мере ввода.
Изучите формулу и наглядное объяснение, чтобы понять, как получен ответ.
Скопируйте URL страницы, чтобы поделиться именно этим расчётом.

Типичные примеры

27 mod 5 → вычет 2, НОД 1, обратный 3 (27·3 = 81 ≡ 1 mod 5)
3 mod 7 → обратный 5, так как 3·5 = 15 ≡ 1 (mod 7)
−13 mod 10 → вычет 7, обратный 3
4 mod 6 → НОД 2, не взаимно простые: обратного по модулю не существует

Часто задаваемые вопросы

«Модульная арифметика»: как это работает?

Введите значения, и калькулятор применит точный математический метод для этой задачи, показав результат вместе с использованной формулой. Всё вычисляется с высокой точностью, поэтому ответ не ограничен обычными ошибками округления чисел с плавающей точкой.

«Модульная арифметика»: когда пригодится?

Он полезен для домашних заданий и подготовки к экзаменам, для проверки вычислений, сделанных вручную, и всякий раз, когда в более крупной задаче нужно быстро и надёжно выполнить этот расчёт.

Насколько точны результаты?

Внутренние вычисления ведутся с точностью 30 значащих цифр. Отображаемые значения округляются для удобства чтения, но сам результат гораздо точнее, чем при обычном расчёте вручную или на карманном калькуляторе.

Можно ли поделиться конкретным расчётом с кем-то?

Да. Каждое введённое значение обновляет URL, поэтому достаточно скопировать адресную строку и отправить ссылку — у получателя откроется точно такой же расчёт.