マンデルブロ集合エクスプローラー
マンデルブロ集合を拡大表示
この計算機について
マンデルブロ集合エクスプローラーは、マンデルブロ集合 — z を z の 2 乗に c を足したもので写したときに軌道が有界にとどまる複素数 c の集合 — を拡大表示します。中心点、拡大率、反復回数の上限を入力すると、その点のまわりのフラクタルをレンダリングし、点を分類します。点がメインカージオイドまたは周期 2 の球根部にあるときは所属を厳密に証明し、それ以外の場合は反復して発散反復回数と最終的な絶対値を求めます。すべての表示は URL で共有でき、複素力学系やフラクタルの学習に役立ちます。
マンデルブロ集合を探索する方法
- 中心点を実部と虚部として入力します。
- 拡大率を設定します — 値が大きいほどフラクタルの奥深くへ入ります。
- 境界付近の詳細を増やすには反復回数の上限を上げます。
- 中心点の判定を読み取り、リンクをコピーして表示を共有します。
一般的な例
- c = 0 → メインカージオイド内 (周期 1); 軌道は 0 のまま
- c = −1 → 周期 2 の球根部内; 軌道は 0, −1, 0, −1 と循環
- c = 2 → |z| が際限なく増大し反復 2 回目で発散
- 中心 −0.5, 拡大率 1 → 定番の集合全体の表示
- 中心 −0.743 + 0.113i, 拡大率 2000 → 境界の深い螺旋
よくある質問
マンデルブロ集合とは何ですか?
z = 0 から始めて z を z の 2 乗に c を足したもので写す数列が、決して無限大へ発散しないような複素数 c の集合です。内部の点は有界にとどまり、外部の点は発散します。
この計算機は点が集合に属するかどうかをどう判定しますか?
2 つの大きな領域 — メインカージオイドと周期 2 の球根部 — には所属の厳密な公式があるため、その内部の点は所属が証明されます。それ以外の点は指定した反復回数の上限まで反復され、絶対値が 2 を決して超えなければその点は有界と報告されます。
発散反復回数とは何を意味しますか?
z の絶対値が 2 を超える最初のステップのことです。軌道がいったん半径 2 を超えると必ず発散するため、発散反復回数が小さいほどその点は速く集合を離れます — 色のグラデーションはそれを表しています。
深い拡大が制限されるのはなぜですか?
この図は通常の倍精度の数で平面を標本化しており、約 1 兆倍を超える拡大では精度が失われます。図が正確に保たれるよう、計算機はそこで拡大を制限します。