Ряд Тейлора

Приближение функции многочленами Тейлора и Маклорена

Об этом калькуляторе

Калькулятор рядов Тейлора строит многочлен Тейлора или Маклорена функции f(x) в окрестности центра a до 12-го порядка, вычисляя каждый коэффициент cₖ = f⁽ᵏ⁾(a)/k! автоматическим дифференцированием степенных рядов — точными рекуррентными соотношениями по дереву выражения, что гораздо устойчивее конечных разностей. Он перечисляет каждую производную и коэффициент, выводит многочлен по степеням (x − a) и может вычислить Pₙ(x) в точке, чтобы сравнить его с точным f(x) и показать абсолютную погрешность. Особые точки в центре и неаналитические функции распознаются и сообщаются.

«Ряд Тейлора»: как пользоваться

  1. Введите значения для вашей задачи в поля ввода.
  2. Посмотрите результат — он обновляется мгновенно по мере ввода.
  3. Изучите формулу и наглядное объяснение, чтобы понять, как получен ответ.
  4. Скопируйте URL страницы, чтобы поделиться именно этим расчётом.

Типичные примеры

  • sin(x) в окрестности 0, порядок 7 → x − 0,166667x³ + 0,00833333x⁵ − 0,000198413x⁷
  • exp(x), порядок 4, при x = 1 → P₄(1) = 2,70833… против e = 2,71828… (погрешность ≈ 0,00995)
  • ln(x) в окрестности a = 1, порядок 4 → (x − 1) − 0,5(x − 1)² + 0,333333(x − 1)³ − 0,25(x − 1)⁴
  • 1/(1 − x) в окрестности 0, порядок 5 → 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵, геометрический ряд
  • sin(x), порядок 5, при x = 0,5 → P₅(0,5) = 0,479427… против 0,479426…, погрешность ≈ 1,5×10⁻⁶

Часто задаваемые вопросы

«Ряд Тейлора»: как это работает?

Введите значения, и калькулятор применит точный математический метод для этой задачи, показав результат вместе с использованной формулой. Всё вычисляется с высокой точностью, поэтому ответ не ограничен обычными ошибками округления чисел с плавающей точкой.

«Ряд Тейлора»: когда пригодится?

Он полезен для домашних заданий и подготовки к экзаменам, для проверки вычислений, сделанных вручную, и всякий раз, когда в более крупной задаче нужно быстро и надёжно выполнить этот расчёт.

Насколько точны результаты?

Внутренние вычисления ведутся с точностью 30 значащих цифр. Отображаемые значения округляются для удобства чтения, но сам результат гораздо точнее, чем при обычном расчёте вручную или на карманном калькуляторе.

Можно ли поделиться конкретным расчётом с кем-то?

Да. Каждое введённое значение обновляет URL, поэтому достаточно скопировать адресную строку и отправить ссылку — у получателя откроется точно такой же расчёт.