Szereg Taylora

Przybliżenie funkcji wielomianem Taylora i Maclaurina

O tym kalkulatorze

Kalkulator szeregu Taylora wyznacza wielomian Taylora lub Maclaurina funkcji f(x) wokół środka a do rzędu 12, obliczając każdy współczynnik cₖ = f⁽ᵏ⁾(a)/k! metodą automatycznego różniczkowania szeregów potęgowych — dokładnymi rekurencjami na drzewie wyrażenia, znacznie stabilniejszymi niż ilorazy różnicowe. Wypisuje każdą pochodną i każdy współczynnik, podaje wielomian w potęgach (x − a) i może obliczyć Pₙ(x) w punkcie, aby porównać go z prawdziwym f(x) i pokazać bezwzględny błąd obcięcia. Osobliwe środki i funkcje nieanalityczne są wykrywane i zgłaszane.

Szereg Taylora: instrukcja obsługi

  1. Wpisz wartości swojego zadania w pola wejściowe.
  2. Odczytaj wynik — aktualizuje się natychmiast podczas wpisywania.
  3. Sprawdź wzór i wizualne objaśnienie, aby zobaczyć, jak uzyskano odpowiedź.
  4. Skopiuj adres URL strony, aby udostępnić dokładnie to obliczenie.

Typowe przykłady

  • sin(x) wokół 0, rząd 7 → x − 0,166667x³ + 0,00833333x⁵ − 0,000198413x⁷
  • exp(x), rząd 4, w x = 1 → P₄(1) = 2,70833… wobec e = 2,71828… (błąd ≈ 0,00995)
  • ln(x) wokół a = 1, rząd 4 → (x − 1) − 0,5(x − 1)² + 0,333333(x − 1)³ − 0,25(x − 1)⁴
  • 1/(1 − x) wokół 0, rząd 5 → 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵, czyli szereg geometryczny
  • sin(x), rząd 5, w x = 0,5 → P₅(0,5) = 0,479427… wobec 0,479426…, błąd ≈ 1,5×10⁻⁶

Najczęściej zadawane pytania

Szereg Taylora: jak to działa?

Wpisz swoje wartości, a kalkulator zastosuje dokładną metodę matematyczną właściwą dla tego zadania i pokaże wynik razem z użytym wzorem. Wszystko jest liczone w arytmetyce wysokiej precyzji, więc wynik nie jest ograniczony zwykłymi zaokrągleniami liczb zmiennoprzecinkowych.

Szereg Taylora: kiedy się przydaje?

Przydaje się przy odrabianiu lekcji i przygotowaniach do egzaminów, do sprawdzania obliczeń wykonanych ręcznie oraz zawsze wtedy, gdy jeden z kroków większego zadania wymaga szybkiego i pewnego wykonania tego obliczenia.

Jak dokładne są wyniki?

Obliczenia są wykonywane wewnętrznie z dokładnością do 30 cyfr znaczących. Wyświetlane wartości są zaokrąglane dla czytelności, ale wynik w tle jest znacznie dokładniejszy niż typowe obliczenia ręczne czy na kalkulatorze kieszonkowym.

Czy mogę udostępnić komuś konkretne obliczenie?

Tak. Każda wpisana wartość aktualizuje adres URL, więc wystarczy skopiować adres z paska przeglądarki i wysłać link — każdy, kto go otworzy, zobaczy dokładnie to samo obliczenie.