テイラー級数
関数のテイラー多項式およびマクローリン多項式による近似
この計算機について
テイラー級数の計算機は、中心 a のまわりの f(x) のテイラー多項式またはマクローリン多項式を12次まで構築し、各係数 cₖ = f⁽ᵏ⁾(a)/k! をべき級数の自動微分 — 式の木の上での厳密な漸化式 — で計算するため、有限差分よりはるかに安定しています。各導関数と係数を列挙し、多項式を (x − a) のべきで表示し、点における Pₙ(x) を評価して真の f(x) と比較し、打ち切り誤差の絶対値を示すこともできます。特異な中心や解析的でない関数は検出して報告します。
テイラー級数計算機の使い方
- 入力欄に問題の値を入力します。
- 結果を確認します — 入力するたびに即座に更新されます。
- 公式とビジュアルによる解説を確認して、答えがどう導かれたかを追います。
- ページの URL をコピーして、計算結果をそのまま共有します。
一般的な例
- sin(x) を 0 のまわりで7次まで → x − 0.166667x³ + 0.00833333x⁵ − 0.000198413x⁷
- exp(x) を4次まで、x = 1 で評価 → P₄(1) = 2.70833… vs e = 2.71828… (誤差 ≈ 0.00995)
- ln(x) を a = 1 のまわりで4次まで → (x − 1) − 0.5(x − 1)² + 0.333333(x − 1)³ − 0.25(x − 1)⁴
- 1/(1 − x) を 0 のまわりで5次まで → 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵、幾何級数
- sin(x) を5次まで、x = 0.5 で → P₅(0.5) = 0.479427… vs 0.479426…、誤差 ≈ 1.5×10⁻⁶
よくある質問
テイラー級数計算機はどのように機能しますか？
値を入力すると、この問題に対する厳密な数学的手法を適用し、使用した公式とともに結果を表示します。すべて高精度な演算で計算されるため、表示される答えは通常の浮動小数点の丸めに制限されません。
テイラー級数計算機はどんな時に使いますか？
宿題や試験対策、手計算の検算、そしてより大きな問題の一部としてこの計算を素早く確実に済ませたいときに便利です。
結果の精度はどのくらいですか？
計算は内部的に有効数字30桁の精度で実行されます。表示される値は読みやすいよう丸められていますが、基礎となる結果は一般的な手計算やポケット電卓の計算よりはるかに正確です。
特定の計算結果を他の人と共有できますか？
はい。入力した値は URL に反映されるため、アドレスバーをコピーしてリンクを共有すれば、相手側でもまったく同じ計算がそのまま開きます。