泰勒级数
函数的泰勒和麦克劳林多项式近似
关于这个计算器
泰勒级数计算器构建 f(x) 在中心 a 处最高 12 阶的泰勒或麦克劳林多项式，通过幂级数自动微分计算每个系数 cₖ = f⁽ᵏ⁾(a)/k!——在表达式树上使用精确递推，远比有限差分稳定。它列出每个导数和系数，以 (x − a) 的幂次打印多项式，并可在某点计算 Pₙ(x) 以与真实 f(x) 比较并给出绝对截断误差。奇异中心和非解析函数会被检测并报告。
如何使用泰勒级数计算器
- 在输入框中填入您问题的数值。
- 读取结果——它会在您输入时即时更新。
- 查看公式和可视化解释，了解答案是如何得出的。
- 复制页面 URL 以分享这次精确的计算。
常见示例
- sin(x) 在 0 处展开到 7 阶 → x − 0.166667x³ + 0.00833333x⁵ − 0.000198413x⁷
- exp(x) 展开到 4 阶，在 x = 1 处计算 → P₄(1) = 2.70833… 对比 e = 2.71828…（误差 ≈ 0.00995）
- ln(x) 在 a = 1 处展开到 4 阶 → (x − 1) − 0.5(x − 1)² + 0.333333(x − 1)³ − 0.25(x − 1)⁴
- 1/(1 − x) 在 0 处展开到 5 阶 → 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵，即几何级数
- sin(x) 展开到 5 阶，在 x = 0.5 处 → P₅(0.5) = 0.479427… 对比 0.479426…，误差 ≈ 1.5×10⁻⁶
常见问题
泰勒级数计算器是如何工作的？
输入您的数值，计算器会应用针对该问题的精确数学方法，显示结果以及所使用的公式。所有计算均采用高精度运算，因此您看到的答案不受普通浮点舍入的限制。
什么时候会用到泰勒级数计算器？
它适用于家庭作业和备考、核对手工演算的结果，以及在更大的问题中需要快速而可靠地完成这一步计算的任何时候。
结果有多精确？
计算内部以 30 位有效数字的精度进行。显示的数值会四舍五入以便阅读，但底层结果远比典型的手算或袖珍计算器计算精确。
可以把某次计算分享给别人吗？
可以。您输入的每一个值都会同步更新到 URL，因此复制地址栏并分享链接，对方打开后就能看到完全相同的计算。