QR-разложение

Разложите матрицу в виде Q R методом Грама — Шмидта

Об этом калькуляторе

Калькулятор QR-разложения раскладывает матрицу полного ранга по столбцам (до 5×5) в виде A = Q·R с помощью процесса Грама — Шмидта в 30-значной десятичной арифметике. У Q ортонормированные столбцы, а R — верхнетреугольная с неотрицательной диагональю: это каноническое, единственное QR-разложение матрицы полного ранга. Для встроенной проверки калькулятор также показывает невязку восстановления max |Q·R − A| и невязку ортонормированности max |QᵀQ − I|, а линейно зависимые столбцы определяет как вход неполного ранга.

«QR-разложение»: как пользоваться

  1. Введите значения для вашей задачи в поля ввода.
  2. Посмотрите результат — он обновляется мгновенно по мере ввода.
  3. Изучите формулу и наглядное объяснение, чтобы понять, как получен ответ.
  4. Скопируйте URL страницы, чтобы поделиться именно этим расчётом.

Типичные примеры

  • [[3,4],[4,−3]] → Q = [[0.6, 0.8],[0.8, −0.6]], R = [[5, 0],[0, 5]], ошибка восстановления 0
  • 3×3 [[1,1,0],[1,0,1],[0,1,1]] → диагональ R ≈ 1,414214 (√2); 1,224745; 1,154701
  • Вытянутая 3×2 [[1,0],[1,1],[1,2]] → R = [[1.732051, 1.732051],[0, 1.414214]]
  • Зависимые столбцы [[1,2],[2,4]] → неполный ранг: процесс Грама — Шмидта не может получить единичный вектор

Часто задаваемые вопросы

«QR-разложение»: как это работает?

Введите значения, и калькулятор применит точный математический метод для этой задачи, показав результат вместе с использованной формулой. Всё вычисляется с высокой точностью, поэтому ответ не ограничен обычными ошибками округления чисел с плавающей точкой.

«QR-разложение»: когда пригодится?

Он полезен для домашних заданий и подготовки к экзаменам, для проверки вычислений, сделанных вручную, и всякий раз, когда в более крупной задаче нужно быстро и надёжно выполнить этот расчёт.

Насколько точны результаты?

Внутренние вычисления ведутся с точностью 30 значащих цифр. Отображаемые значения округляются для удобства чтения, но сам результат гораздо точнее, чем при обычном расчёте вручную или на карманном калькуляторе.

Можно ли поделиться конкретным расчётом с кем-то?

Да. Каждое введённое значение обновляет URL, поэтому достаточно скопировать адресную строку и отправить ссылку — у получателя откроется точно такой же расчёт.