Rozkład QR

Rozłóż macierz na iloczyn Q R metodą Grama-Schmidta

O tym kalkulatorze

Kalkulator rozkładu QR rozkłada macierz o pełnym rzędzie kolumnowym (do 5×5) na A = Q·R metodą Grama-Schmidta w 30-cyfrowej arytmetyce dziesiętnej. Q ma kolumny ortonormalne, a R jest górnotrójkątna z nieujemną przekątną — to kanoniczny, jednoznaczny rozkład QR macierzy pełnego rzędu. Kalkulator podaje też resztę odtworzenia max |Q·R − A| i resztę ortonormalności max |QᵀQ − I| jako wbudowaną weryfikację oraz wykrywa kolumny liniowo zależne jako dane o niepełnym rzędzie.

Rozkład QR: instrukcja obsługi

  1. Wpisz wartości swojego zadania w pola wejściowe.
  2. Odczytaj wynik — aktualizuje się natychmiast podczas wpisywania.
  3. Sprawdź wzór i wizualne objaśnienie, aby zobaczyć, jak uzyskano odpowiedź.
  4. Skopiuj adres URL strony, aby udostępnić dokładnie to obliczenie.

Typowe przykłady

  • [[3,4],[4,−3]] → Q = [[0.6, 0.8],[0.8, −0.6]], R = [[5, 0],[0, 5]], błąd odtworzenia 0
  • 3×3 [[1,1,0],[1,0,1],[0,1,1]] → przekątna R ≈ 1,414214 (√2); 1,224745; 1,154701
  • Wysoka macierz 3×2 [[1,0],[1,1],[1,2]] → R = [[1.732051, 1.732051],[0, 1.414214]]
  • Kolumny zależne [[1,2],[2,4]] → niepełny rząd: metoda Grama-Schmidta nie może utworzyć wektora jednostkowego

Najczęściej zadawane pytania

Rozkład QR: jak to działa?

Wpisz swoje wartości, a kalkulator zastosuje dokładną metodę matematyczną właściwą dla tego zadania i pokaże wynik razem z użytym wzorem. Wszystko jest liczone w arytmetyce wysokiej precyzji, więc wynik nie jest ograniczony zwykłymi zaokrągleniami liczb zmiennoprzecinkowych.

Rozkład QR: kiedy się przydaje?

Przydaje się przy odrabianiu lekcji i przygotowaniach do egzaminów, do sprawdzania obliczeń wykonanych ręcznie oraz zawsze wtedy, gdy jeden z kroków większego zadania wymaga szybkiego i pewnego wykonania tego obliczenia.

Jak dokładne są wyniki?

Obliczenia są wykonywane wewnętrznie z dokładnością do 30 cyfr znaczących. Wyświetlane wartości są zaokrąglane dla czytelności, ale wynik w tle jest znacznie dokładniejszy niż typowe obliczenia ręczne czy na kalkulatorze kieszonkowym.

Czy mogę udostępnić komuś konkretne obliczenie?

Tak. Każda wpisana wartość aktualizuje adres URL, więc wystarczy skopiować adres z paska przeglądarki i wysłać link — każdy, kto go otworzy, zobaczy dokładnie to samo obliczenie.