QR 分解

通过 Gram-Schmidt 将矩阵分解为 Q R

关于这个计算器

QR 分解计算器使用格拉姆-施密特过程将列满秩矩阵（最大 5×5）分解为 A = Q·R，以 30 位十进制运算进行。Q 的各列标准正交，R 是对角线非负的上三角矩阵——即满秩矩阵的标准唯一 QR 分解。计算器还报告重构残差 max |Q·R − A| 和正交性残差 max |QᵀQ − I| 作为内置验证，并将线性相关的列检测为秩亏输入。

如何使用QR 分解计算器

  1. 在输入框中填入您问题的数值。
  2. 读取结果——它会在您输入时即时更新。
  3. 查看公式和可视化解释，了解答案是如何得出的。
  4. 复制页面 URL 以分享这次精确的计算。

常见示例

  • [[3,4],[4,−3]] → Q = [[0.6, 0.8],[0.8, −0.6]]，R = [[5, 0],[0, 5]]，重构误差 0
  • 3×3 [[1,1,0],[1,0,1],[0,1,1]] → R 对角线 ≈ 1.414214（√2）、1.224745、1.154701
  • 高矩阵 3×2 [[1,0],[1,1],[1,2]] → R = [[1.732051, 1.732051],[0, 1.414214]]
  • 相关列 [[1,2],[2,4]] → 秩亏：格拉姆-施密特无法产生单位向量

常见问题

QR 分解计算器是如何工作的？

输入您的数值，计算器会应用针对该问题的精确数学方法，显示结果以及所使用的公式。所有计算均采用高精度运算，因此您看到的答案不受普通浮点舍入的限制。

什么时候会用到QR 分解计算器？

它适用于家庭作业和备考、核对手工演算的结果，以及在更大的问题中需要快速而可靠地完成这一步计算的任何时候。

结果有多精确？

计算内部以 30 位有效数字的精度进行。显示的数值会四舍五入以便阅读，但底层结果远比典型的手算或袖珍计算器计算精确。

可以把某次计算分享给别人吗？

可以。您输入的每一个值都会同步更新到 URL，因此复制地址栏并分享链接，对方打开后就能看到完全相同的计算。