偏导数
f(x,y) 的偏导数和梯度
关于这个计算器
偏导数计算器对 f(x, y) 进行符号微分，给出 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y 的精确公式，以及二阶偏导数 fxx、fyy 和混合偏导数 fxy。给定点 (x₀, y₀) 后，它还以 30 位十进制精度计算 f、梯度 ∇f、其模 |∇f| 以及最速上升方向。像 abs 或 floor 这样的非光滑函数会被拒绝而不是被错误微分，无定义的求值点也会被标记。适用于多元微积分、最优化和机器学习学习。
如何使用偏导数计算器
- 在输入框中填入您问题的数值。
- 读取结果——它会在您输入时即时更新。
- 查看公式和可视化解释，了解答案是如何得出的。
- 复制页面 URL 以分享这次精确的计算。
常见示例
- f = x² + y² → fx = 2x，fy = 2y，fxx = fyy = 2；在 (1, 2) 处：∇f = (2, 4)，|∇f| ≈ 4.4721
- f = x²y + sin(y) → fx = 2xy，fy = x² + cos(y)，混合偏导数 fxy = 2x
- f = exp(x)·cos(y) 在 (0, 0) 处 → f = 1，fx = 1，fy = 0，最速上升方向沿 +x（0°）
常见问题
偏导数计算器是如何工作的？
输入您的数值，计算器会应用针对该问题的精确数学方法，显示结果以及所使用的公式。所有计算均采用高精度运算，因此您看到的答案不受普通浮点舍入的限制。
什么时候会用到偏导数计算器？
它适用于家庭作业和备考、核对手工演算的结果，以及在更大的问题中需要快速而可靠地完成这一步计算的任何时候。
结果有多精确？
计算内部以 30 位有效数字的精度进行。显示的数值会四舍五入以便阅读，但底层结果远比典型的手算或袖珍计算器计算精确。
可以把某次计算分享给别人吗？
可以。您输入的每一个值都会同步更新到 URL，因此复制地址栏并分享链接，对方打开后就能看到完全相同的计算。