梯度与方向导数

关于这个计算器

梯度与方向导数计算器在某点计算标量场 f(x, y) 的梯度 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)，报告偏导数、模 |∇f|（最陡斜率）以及以度表示的最速上升方向。提供一个方向向量后，它会将其归一化为 û 并计算方向导数 D_û f = ∇f · û，以及 û 与梯度之间的夹角。零梯度会被标记为临界点，零方向向量会被报告而不是被作为除数。

如何使用梯度与方向导数计算器

1. 在输入框中填入您问题的数值。
2. 读取结果——它会在您输入时即时更新。
3. 查看公式和可视化解释，了解答案是如何得出的。
4. 复制页面 URL 以分享这次精确的计算。

常见示例

• f = x² + y² 在 (1, 2) 处 → ∇f = (2, 4)，|∇f| ≈ 4.4721，最速上升方向 ≈ 63.43°
• 同一点沿方向 (1, 0) → 方向导数 D_û f = 2
• f = xy 在 (2, 3) 处沿 (1, 1) → D_û f ≈ 3.5355，|∇f| ≈ 3.6056
• x² + y² 在原点处 → ∇f = 0：临界点，没有最速上升方向