Ortonormalização de Gram-Schmidt

Ortonormalize um conjunto de vetores

qₖ = (vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ) / ‖vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ‖

Base ortonormal

q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)

q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)

q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Vetores independentes

3 de 3

Resíduo de ortogonalidade

≈ 0

Ortonormalidade verificada

Processo de Gram-Schmidt

v₁ = (1, 1, 0)
Comprimento ‖u₁‖ = 1,4142
q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)
v₂ = (1, 0, 1)
− 0,7071·q₁
Comprimento ‖u₂‖ = 1,2247
q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)
v₃ = (0, 1, 1)
− 0,7071·q₁ − 0,4082·q₂
Comprimento ‖u₃‖ = 1,1547
q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Sobre esta calculadora

A Calculadora de Ortonormalização de Gram-Schmidt transforma até quatro vetores 2D ou 3D em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt modificado em aritmética decimal de 30 dígitos. Cada passo é mostrado: os coeficientes de projeção removidos de cada vetor, o resíduo ortogonal, sua norma e o vetor unitário final. Entradas linearmente dependentes são detectadas e descartadas (reduzindo o posto), conjuntos já ortonormais são reconhecidos, e um resíduo de ortogonalidade mútua verifica o resultado.

Como usar a calculadora de Ortonormalização de Gram-Schmidt

Digite os valores do seu problema nos campos de entrada.
Leia o resultado — ele atualiza instantaneamente enquanto você digita.
Confira a fórmula e a explicação visual para acompanhar como a resposta foi encontrada.
Copie a URL da página para compartilhar o cálculo exato.

Exemplos comuns

(3, 1), (2, 2) → q₁ ≈ (0,948683, 0,316228), q₂ ≈ (−0,316228, 0,948683)
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) → base ortonormal 3D completa, q₁ ≈ (0,707107, 0,707107, 0)
(1, 2) e (2, 4) → o segundo vetor é dependente e descartado, posto 1
(1, 0), (0, 1) → reconhecidos como já ortonormais, retornados sem alteração

Perguntas frequentes

Como funciona a calculadora de Ortonormalização de Gram-Schmidt?

Digite seus valores e a calculadora aplica o método matemático exato para esse problema, mostrando o resultado junto com a fórmula utilizada. Tudo é calculado com aritmética de alta precisão, então a resposta que você vê não é limitada pelo arredondamento comum de ponto flutuante.

Quando eu usaria a calculadora de Ortonormalização de Gram-Schmidt?

Ela é útil para lição de casa e preparação para provas, para conferir contas feitas à mão e sempre que uma etapa de um problema maior precisar desse cálculo feito de forma rápida e confiável.

Quão precisos são os resultados?

Os cálculos rodam internamente com 30 dígitos significativos de precisão. Os valores exibidos são arredondados para facilitar a leitura, mas o resultado subjacente é muito mais preciso que um cálculo típico feito à mão ou em uma calculadora de bolso.

Posso compartilhar um cálculo específico com outra pessoa?

Sim. Cada valor que você digita atualiza a URL, então copiar a barra de endereço e compartilhar o link reabre exatamente o mesmo cálculo para quem clicar.