Ortonormalisasi Gram-Schmidt

Ortonormalkan sekumpulan vektor

qₖ = (vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ) / ‖vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ‖

Basis ortonormal

q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)

q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)

q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Vektor bebas linear

3 dari 3

Residu ortogonalitas

≈ 0

Terverifikasi ortonormal

Proses Gram-Schmidt

v₁ = (1, 1, 0)
Panjang ‖u₁‖ = 1,4142
q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)
v₂ = (1, 0, 1)
− 0,7071·q₁
Panjang ‖u₂‖ = 1,2247
q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)
v₃ = (0, 1, 1)
− 0,7071·q₁ − 0,4082·q₂
Panjang ‖u₃‖ = 1,1547
q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Tentang kalkulator ini

Kalkulator Ortonormalisasi Gram-Schmidt mengubah hingga empat vektor 2D atau 3D menjadi basis ortonormal menggunakan proses Gram-Schmidt termodifikasi dengan aritmetika desimal 30 digit. Setiap langkah ditampilkan: koefisien proyeksi yang dihilangkan dari setiap vektor, residu ortogonal, normanya, dan vektor satuan akhir. Input yang bergantung linear dideteksi dan dihapus (mengurangi rank), himpunan yang sudah ortonormal dikenali, dan residu ortogonalitas bersama memverifikasi hasilnya.

Cara menggunakan Ortonormalisasi Gram-Schmidt

Masukkan nilai-nilai soal Anda ke kolom input.
Baca hasilnya — hasil langsung diperbarui saat Anda mengetik.
Periksa rumus dan penjelasan visualnya untuk mengikuti cara jawaban diperoleh.
Salin URL halaman untuk membagikan perhitungan yang persis sama.

Contoh umum

(3, 1), (2, 2) → q₁ ≈ (0.948683, 0.316228), q₂ ≈ (−0.316228, 0.948683)
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) → basis ortonormal 3D lengkap, q₁ ≈ (0.707107, 0.707107, 0)
(1, 2) dan (2, 4) → vektor kedua bergantung linear dan dihapus, rank 1
(1, 0), (0, 1) → dikenali sudah ortonormal, dikembalikan tanpa perubahan

Pertanyaan yang sering diajukan

Ortonormalisasi Gram-Schmidt: bagaimana cara kerjanya?

Masukkan nilai Anda, lalu kalkulator menerapkan metode matematika yang tepat untuk soal ini dan menampilkan hasilnya beserta rumus yang digunakan. Semua dihitung dengan aritmetika presisi tinggi, sehingga jawaban yang Anda lihat tidak dibatasi oleh pembulatan floating-point biasa.

Ortonormalisasi Gram-Schmidt: kapan saya memerlukannya?

Berguna untuk PR dan persiapan ujian, untuk memeriksa pekerjaan yang dihitung manual, dan kapan pun satu langkah dalam soal yang lebih besar membutuhkan perhitungan ini secara cepat dan andal.

Seberapa akurat hasilnya?

Perhitungan dijalankan secara internal dengan presisi 30 digit signifikan. Nilai yang ditampilkan dibulatkan agar mudah dibaca, tetapi hasil di baliknya jauh lebih presisi daripada hitungan manual atau kalkulator saku biasa.

Bisakah saya membagikan perhitungan tertentu kepada orang lain?

Ya. Setiap nilai yang Anda masukkan memperbarui URL, jadi dengan menyalin alamat di bilah alamat dan membagikan tautannya, siapa pun yang mengekliknya akan membuka perhitungan yang persis sama.