Gram-Schmidt-Orthonormalisierung

Eine Menge von Vektoren orthonormalisieren

qₖ = (vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ) / ‖vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ‖

Orthonormalbasis

q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)

q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)

q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Unabhängige Vektoren

3 von 3

Orthogonalitätsresiduum

≈ 0

Orthonormalität bestätigt

Gram-Schmidt-Verfahren

v₁ = (1, 1, 0)
Länge ‖u₁‖ = 1,4142
q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)
v₂ = (1, 0, 1)
− 0,7071·q₁
Länge ‖u₂‖ = 1,2247
q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)
v₃ = (0, 1, 1)
− 0,7071·q₁ − 0,4082·q₂
Länge ‖u₃‖ = 1,1547
q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Über diesen Rechner

Der Gram-Schmidt-Orthonormalisierungs-Rechner verwandelt bis zu vier 2D- oder 3D-Vektoren mit dem modifizierten Gram-Schmidt-Verfahren in 30-stelliger Dezimalarithmetik in eine Orthonormalbasis. Jeder Schritt wird gezeigt: die von jedem Vektor entfernten Projektionskoeffizienten, das orthogonale Residuum, dessen Norm und der endgültige Einheitsvektor. Linear abhängige Eingaben werden erkannt und verworfen (was den Rang verringert), bereits orthonormale Mengen werden erkannt, und ein Residuum der gegenseitigen Orthogonalität verifiziert das Ergebnis.

So nutzen Sie den Gram-Schmidt-Orthonormalisierung-Rechner

Geben Sie die Werte Ihres Problems in die Eingabefelder ein.
Lesen Sie das Ergebnis ab — es aktualisiert sich sofort, während Sie tippen.
Sehen Sie sich die Formel und die visuelle Erklärung an, um nachzuvollziehen, wie die Antwort gefunden wurde.
Kopieren Sie die URL der Seite, um die exakte Berechnung zu teilen.

Häufige Beispiele

(3, 1), (2, 2) → q₁ ≈ (0,948683, 0,316228), q₂ ≈ (−0,316228, 0,948683)
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) → vollständige 3D-Orthonormalbasis, q₁ ≈ (0,707107, 0,707107, 0)
(1, 2) und (2, 4) → der zweite Vektor ist abhängig und wird verworfen, Rang 1
(1, 0), (0, 1) → als bereits orthonormal erkannt, unverändert zurückgegeben

Häufig gestellte Fragen

Wie funktioniert der Gram-Schmidt-Orthonormalisierung-Rechner?

Geben Sie Ihre Werte ein, und der Rechner wendet die exakte mathematische Methode für dieses Problem an und zeigt das Ergebnis zusammen mit der verwendeten Formel. Alles wird mit hochpräziser Arithmetik berechnet, sodass die angezeigte Antwort nicht durch gewöhnliche Gleitkomma-Rundung begrenzt ist.

Wann brauche ich den Gram-Schmidt-Orthonormalisierung-Rechner?

Er ist nützlich für Hausaufgaben und die Prüfungsvorbereitung, zum Überprüfen von Handrechnungen und immer dann, wenn ein Schritt in einem größeren Problem diese Berechnung schnell und zuverlässig erledigt braucht.

Wie genau sind die Ergebnisse?

Die Berechnungen laufen intern mit 30 signifikanten Stellen Genauigkeit. Angezeigte Werte werden für die Lesbarkeit gerundet, aber das zugrunde liegende Ergebnis ist weitaus präziser als eine typische Hand- oder Taschenrechner-Berechnung.

Kann ich eine bestimmte Berechnung mit jemand anderem teilen?

Ja. Jeder eingegebene Wert aktualisiert die URL — wenn Sie die Adressleiste kopieren und den Link teilen, öffnet sich für jeden, der ihn anklickt, exakt dieselbe Berechnung.