Ortonormalizacja Grama-Schmidta

Ortonormalizuj zbiór wektorów

qₖ = (vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ) / ‖vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ‖

Baza ortonormalna

q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)

q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)

q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Wektory niezależne

3 z 3

Resztka ortogonalności

≈ 0

Ortonormalność potwierdzona

Proces Grama-Schmidta

v₁ = (1, 1, 0)
Długość ‖u₁‖ = 1,4142
q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)
v₂ = (1, 0, 1)
− 0,7071·q₁
Długość ‖u₂‖ = 1,2247
q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)
v₃ = (0, 1, 1)
− 0,7071·q₁ − 0,4082·q₂
Długość ‖u₃‖ = 1,1547
q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

O tym kalkulatorze

Kalkulator ortonormalizacji Grama-Schmidta przekształca maksymalnie cztery wektory 2D lub 3D w bazę ortonormalną zmodyfikowaną metodą Grama-Schmidta w 30-cyfrowej arytmetyce dziesiętnej. Pokazuje każdy krok: współczynniki rzutów odejmowanych od każdego wektora, resztę ortogonalną, jej normę i końcowy wektor jednostkowy. Dane liniowo zależne są wykrywane i pomijane (co obniża rząd), zbiory już ortonormalne są rozpoznawane, a resztka wzajemnej ortogonalności weryfikuje wynik.

Ortonormalizacja Grama-Schmidta: instrukcja obsługi

Wpisz wartości swojego zadania w pola wejściowe.
Odczytaj wynik — aktualizuje się natychmiast podczas wpisywania.
Sprawdź wzór i wizualne objaśnienie, aby zobaczyć, jak uzyskano odpowiedź.
Skopiuj adres URL strony, aby udostępnić dokładnie to obliczenie.

Typowe przykłady

(3, 1), (2, 2) → q₁ ≈ (0.948683, 0.316228), q₂ ≈ (−0.316228, 0.948683)
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) → pełna baza ortonormalna 3D, q₁ ≈ (0.707107, 0.707107, 0)
(1, 2) i (2, 4) → drugi wektor jest zależny i zostaje pominięty, rząd 1
(1, 0), (0, 1) → rozpoznane jako już ortonormalne, zwrócone bez zmian

Najczęściej zadawane pytania

Ortonormalizacja Grama-Schmidta: jak to działa?

Wpisz swoje wartości, a kalkulator zastosuje dokładną metodę matematyczną właściwą dla tego zadania i pokaże wynik razem z użytym wzorem. Wszystko jest liczone w arytmetyce wysokiej precyzji, więc wynik nie jest ograniczony zwykłymi zaokrągleniami liczb zmiennoprzecinkowych.

Ortonormalizacja Grama-Schmidta: kiedy się przydaje?

Przydaje się przy odrabianiu lekcji i przygotowaniach do egzaminów, do sprawdzania obliczeń wykonanych ręcznie oraz zawsze wtedy, gdy jeden z kroków większego zadania wymaga szybkiego i pewnego wykonania tego obliczenia.

Jak dokładne są wyniki?

Obliczenia są wykonywane wewnętrznie z dokładnością do 30 cyfr znaczących. Wyświetlane wartości są zaokrąglane dla czytelności, ale wynik w tle jest znacznie dokładniejszy niż typowe obliczenia ręczne czy na kalkulatorze kieszonkowym.

Czy mogę udostępnić komuś konkretne obliczenie?

Tak. Każda wpisana wartość aktualizuje adres URL, więc wystarczy skopiować adres z paska przeglądarki i wysłać link — każdy, kto go otworzy, zobaczy dokładnie to samo obliczenie.