Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt

Ortonormalizza un insieme di vettori

qₖ = (vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ) / ‖vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ‖

Base ortonormale

q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)

q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)

q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Vettori indipendenti

3 di 3

Residuo di ortogonalità

≈ 0

Ortonormalità verificata

Procedimento di Gram-Schmidt

v₁ = (1, 1, 0)
Lunghezza ‖u₁‖ = 1,4142
q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)
v₂ = (1, 0, 1)
− 0,7071·q₁
Lunghezza ‖u₂‖ = 1,2247
q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)
v₃ = (0, 1, 1)
− 0,7071·q₁ − 0,4082·q₂
Lunghezza ‖u₃‖ = 1,1547
q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Informazioni su questo calcolatore

Il Calcolatore di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt trasforma fino a quattro vettori 2D o 3D in una base ortonormale usando il procedimento di Gram-Schmidt modificato con aritmetica decimale a 30 cifre. Ogni passo viene mostrato: i coefficienti di proiezione sottratti da ciascun vettore, il residuo ortogonale, la sua norma e il versore finale. Gli input linearmente dipendenti vengono rilevati e scartati (riducendo il rango), gli insiemi già ortonormali vengono riconosciuti e un residuo di ortogonalità reciproca verifica il risultato.

Come usare lo strumento Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt

Inserisci i valori del tuo problema nei campi di immissione.
Leggi il risultato: si aggiorna subito mentre scrivi.
Controlla la formula e la spiegazione visiva per seguire come è stata trovata la risposta.
Copia l'URL della pagina per condividere esattamente questo calcolo.

Esempi comuni

(3, 1), (2, 2) → q₁ ≈ (0.948683, 0.316228), q₂ ≈ (−0.316228, 0.948683)
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) → base ortonormale 3D completa, q₁ ≈ (0.707107, 0.707107, 0)
(1, 2) e (2, 4) → il secondo vettore è dipendente e viene scartato, rango 1
(1, 0), (0, 1) → riconosciuti come già ortonormali, restituiti invariati

Domande frequenti

Come funziona lo strumento Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt?

Inserisci i tuoi valori e il calcolatore applica il metodo matematico esatto per questo problema, mostrando il risultato insieme alla formula usata. Tutto è calcolato con aritmetica ad alta precisione, quindi la risposta non è limitata dai normali arrotondamenti in virgola mobile.

Quando usare lo strumento Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt?

È utile per i compiti e la preparazione agli esami, per verificare i calcoli fatti a mano e ogni volta che un passaggio di un problema più ampio richiede questo calcolo in modo rapido e affidabile.

Quanto sono precisi i risultati?

Internamente i calcoli usano 30 cifre significative di precisione. I valori mostrati sono arrotondati per leggibilità, ma il risultato sottostante è molto più preciso di un tipico calcolo a mano o con una calcolatrice tascabile.

Posso condividere un calcolo specifico con qualcun altro?

Sì. Ogni valore che inserisci aggiorna l'URL: copiando la barra degli indirizzi e condividendo il link, chiunque lo apra ritrova esattamente lo stesso calcolo.