Gram-Schmidt-orthonormalisatie

Orthonormaliseer een verzameling vectoren

qₖ = (vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ) / ‖vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ‖

Orthonormale basis

q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)

q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)

q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Onafhankelijke vectoren

3 van 3

Orthogonaliteitsresidu

≈ 0

Orthonormaal geverifieerd

Gram-Schmidtproces

v₁ = (1, 1, 0)
Lengte ‖u₁‖ = 1,4142
q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)
v₂ = (1, 0, 1)
− 0,7071·q₁
Lengte ‖u₂‖ = 1,2247
q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)
v₃ = (0, 1, 1)
− 0,7071·q₁ − 0,4082·q₂
Lengte ‖u₃‖ = 1,1547
q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Over deze calculator

De calculator Gram-Schmidt-orthonormalisatie zet maximaal vier 2D- of 3D-vectoren om in een orthonormale basis met het gemodificeerde Gram-Schmidtproces, in decimale rekenkunde met 30 cijfers. Elke stap wordt getoond: de projectiecoëfficiënten die van elke vector worden afgetrokken, het orthogonale residu, de norm daarvan en de uiteindelijke eenheidsvector. Lineair afhankelijke invoer wordt herkend en weggelaten (waardoor de rang daalt), verzamelingen die al orthonormaal zijn worden herkend, en een residu voor de onderlinge orthogonaliteit verifieert het resultaat.

Gram-Schmidt-orthonormalisatie: zo gebruik je het

Voer de waarden van je probleem in de invoervelden in.
Lees het resultaat af — het wordt direct bijgewerkt terwijl je typt.
Bekijk de formule en de visuele uitleg om te volgen hoe het antwoord tot stand kwam.
Kopieer de URL van de pagina om precies deze berekening te delen.

Veelvoorkomende voorbeelden

(3, 1), (2, 2) → q₁ ≈ (0.948683, 0.316228), q₂ ≈ (−0.316228, 0.948683)
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) → volledige orthonormale basis in 3D, q₁ ≈ (0.707107, 0.707107, 0)
(1, 2) en (2, 4) → de tweede vector is afhankelijk en wordt weggelaten, rang 1
(1, 0), (0, 1) → herkend als al orthonormaal, ongewijzigd teruggegeven

Veelgestelde vragen

Gram-Schmidt-orthonormalisatie: hoe werkt het?

Voer je waarden in en de calculator past de exacte wiskundige methode voor dit probleem toe. Je ziet het resultaat samen met de gebruikte formule. Alles wordt met zeer nauwkeurige rekenkunde berekend, zodat het antwoord niet beperkt wordt door de gewone afrondingsfouten van drijvendekommagetallen.

Gram-Schmidt-orthonormalisatie: wanneer gebruik je dit?

Handig voor huiswerk en het voorbereiden van toetsen, om met de hand gemaakte berekeningen te controleren en telkens wanneer een stap in een groter probleem deze berekening snel en betrouwbaar nodig heeft.

Hoe nauwkeurig zijn de resultaten?

Intern wordt gerekend met een precisie van 30 significante cijfers. De getoonde waarden worden afgerond voor de leesbaarheid, maar het onderliggende resultaat is veel preciezer dan een gewone berekening met de hand of met een zakrekenmachine.

Kan ik een specifieke berekening met iemand anders delen?

Ja. Elke waarde die je invoert, wordt in de URL bijgewerkt. Kopieer de adresbalk en deel de link: wie erop klikt, ziet precies dezelfde berekening.