Gram–Schmidts ortonormering

Ortonormera en mängd vektorer

qₖ = (vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ) / ‖vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ‖

Ortonormerad bas

q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)

q₂ = (0,4082, −0,4082, 0,8165)

q₃ = (−0,5774, 0,5774, 0,5774)

Oberoende vektorer

3 av 3

Ortogonalitetsresidual

≈ 0

Verifierat ortonormerad

Gram–Schmidts process

v₁ = (1, 1, 0)
Längd ‖u₁‖ = 1,4142
q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)
v₂ = (1, 0, 1)
− 0,7071·q₁
Längd ‖u₂‖ = 1,2247
q₂ = (0,4082, −0,4082, 0,8165)
v₃ = (0, 1, 1)
− 0,7071·q₁ − 0,4082·q₂
Längd ‖u₃‖ = 1,1547
q₃ = (−0,5774, 0,5774, 0,5774)

Om den här räknaren

Räknaren för Gram–Schmidt-ortonormering gör om upp till fyra vektorer i 2D eller 3D till en ortonormerad bas med den modifierade Gram–Schmidt-processen i decimalaritmetik med 30 siffror. Varje steg visas: projektionskoefficienterna som dras bort från varje vektor, den ortogonala resten, dess norm och den slutliga enhetsvektorn. Linjärt beroende indata upptäcks och tas bort (vilket sänker rangen), mängder som redan är ortonormerade känns igen och en residual för ömsesidig ortogonalitet verifierar resultatet.

Gram–Schmidts ortonormering – steg för steg

Ange värdena för ditt problem i inmatningsfälten.
Läs av resultatet – det uppdateras direkt medan du skriver.
Titta på formeln och den visuella förklaringen för att följa hur svaret togs fram.
Kopiera sidans URL för att dela exakt den här beräkningen.

Vanliga exempel

(3, 1), (2, 2) → q₁ ≈ (0.948683, 0.316228), q₂ ≈ (−0.316228, 0.948683)
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) → fullständig ortonormerad bas i 3D, q₁ ≈ (0.707107, 0.707107, 0)
(1, 2) och (2, 4) → den andra vektorn är beroende och tas bort, rang 1
(1, 0), (0, 1) → känns igen som redan ortonormerade, returneras oförändrade

Vanliga frågor

Gram–Schmidts ortonormering: hur fungerar beräkningen?

Ange dina värden så tillämpar räknaren den exakta matematiska metoden för problemet och visar resultatet tillsammans med formeln som användes. Allt beräknas med högprecisionsaritmetik, så svaret du ser begränsas inte av vanlig avrundning i flyttal.

Gram–Schmidts ortonormering: när har man nytta av den här beräkningen?

Den är användbar för läxor och tentaplugg, för att kontrollera uträkningar gjorda för hand och närhelst ett steg i ett större problem behöver den här beräkningen utförd snabbt och tillförlitligt.

Hur exakta är resultaten?

Beräkningarna görs internt med 30 värdesiffrors precision. De visade värdena avrundas för läsbarhetens skull, men det underliggande resultatet är långt mer exakt än en vanlig uträkning för hand eller på miniräknare.

Kan jag dela en viss beräkning med någon annan?

Ja. Varje värde du anger uppdaterar URL:en, så om du kopierar adressfältet och delar länken öppnas exakt samma beräkning för den som klickar på den.