Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt

Trực chuẩn hóa một tập vectơ

qₖ = (vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ) / ‖vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ‖

Cơ sở trực chuẩn

q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)

q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)

q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Số vectơ độc lập

3 trên 3

Sai số trực giao

≈ 0

Đã xác minh trực chuẩn

Quá trình Gram-Schmidt

v₁ = (1, 1, 0)
Độ dài ‖u₁‖ = 1,4142
q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)
v₂ = (1, 0, 1)
− 0,7071·q₁
Độ dài ‖u₂‖ = 1,2247
q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)
v₃ = (0, 1, 1)
− 0,7071·q₁ − 0,4082·q₂
Độ dài ‖u₃‖ = 1,1547
q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Giới thiệu về máy tính này

Máy tính Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt biến tối đa bốn vectơ 2D hoặc 3D thành một cơ sở trực chuẩn bằng quá trình Gram-Schmidt cải tiến với số học thập phân 30 chữ số. Mọi bước đều được hiển thị: các hệ số chiếu bị trừ khỏi mỗi vectơ, phần dư trực giao, chuẩn của nó và vectơ đơn vị cuối cùng. Các đầu vào phụ thuộc tuyến tính được phát hiện và loại bỏ (làm giảm hạng), các tập đã trực chuẩn sẵn được nhận diện, và một sai số trực giao lẫn nhau xác minh kết quả.

Cách sử dụng Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt

Nhập các giá trị của bài toán vào các ô nhập liệu.
Xem kết quả — kết quả cập nhật ngay khi bạn gõ.
Xem công thức và hình minh họa để hiểu cách tìm ra đáp án.
Sao chép URL của trang để chia sẻ đúng phép tính này.

Ví dụ thường gặp

(3, 1), (2, 2) → q₁ ≈ (0.948683, 0.316228), q₂ ≈ (−0.316228, 0.948683)
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) → cơ sở trực chuẩn 3D đầy đủ, q₁ ≈ (0.707107, 0.707107, 0)
(1, 2) và (2, 4) → vectơ thứ hai phụ thuộc và bị loại bỏ, hạng 1
(1, 0), (0, 1) → được nhận diện là đã trực chuẩn sẵn, trả về nguyên vẹn

Câu hỏi thường gặp

Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt hoạt động như thế nào?

Nhập các giá trị của bạn, máy tính sẽ áp dụng đúng phương pháp toán học cho bài toán này và hiển thị kết quả cùng với công thức đã dùng. Mọi phép tính đều thực hiện với độ chính xác cao, nên đáp án bạn thấy không bị giới hạn bởi sai số làm tròn dấu phẩy động thông thường.

Khi nào nên dùng Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt?

Công cụ hữu ích khi làm bài tập và ôn thi, khi kiểm tra lại bài giải tay, và bất cứ khi nào một bước trong bài toán lớn hơn cần phép tính này được thực hiện nhanh chóng và đáng tin cậy.

Kết quả chính xác đến mức nào?

Bên trong, các phép tính được thực hiện với độ chính xác 30 chữ số có nghĩa. Giá trị hiển thị được làm tròn cho dễ đọc, nhưng kết quả gốc chính xác hơn nhiều so với tính tay hay máy tính bỏ túi thông thường.

Tôi có thể chia sẻ một phép tính cụ thể với người khác không?

Có. Mỗi giá trị bạn nhập đều cập nhật URL, vì vậy chỉ cần sao chép thanh địa chỉ và chia sẻ liên kết là người nhận sẽ mở lại đúng phép tính đó.