Orthonormalisation de Gram-Schmidt

Orthonormaliser un ensemble de vecteurs

qₖ = (vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ) / ‖vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ‖

Base orthonormée

q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)

q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)

q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Vecteurs indépendants

3 sur 3

Résidu d'orthogonalité

≈ 0

Orthonormalité vérifiée

Procédé de Gram-Schmidt

v₁ = (1, 1, 0)
Norme ‖u₁‖ = 1,4142
q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)
v₂ = (1, 0, 1)
− 0,7071·q₁
Norme ‖u₂‖ = 1,2247
q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)
v₃ = (0, 1, 1)
− 0,7071·q₁ − 0,4082·q₂
Norme ‖u₃‖ = 1,1547
q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

À propos de cette calculatrice

Le calculateur d'orthonormalisation de Gram-Schmidt transforme jusqu'à quatre vecteurs 2D ou 3D en une base orthonormée avec le procédé de Gram-Schmidt modifié en arithmétique décimale à 30 chiffres. Chaque étape est montrée : les coefficients de projection retirés de chaque vecteur, le résidu orthogonal, sa norme et le vecteur unitaire final. Les entrées linéairement dépendantes sont détectées et éliminées (réduisant le rang), les ensembles déjà orthonormés sont reconnus, et un résidu d'orthogonalité mutuelle vérifie le résultat.

Comment utiliser la calculatrice Orthonormalisation de Gram-Schmidt

Saisissez les valeurs de votre problème dans les champs de saisie.
Lisez le résultat — il se met à jour instantanément pendant que vous tapez.
Consultez la formule et l'explication visuelle pour suivre comment la réponse a été trouvée.
Copiez l'URL de la page pour partager le calcul exact.

Exemples courants

(3, 1), (2, 2) → q₁ ≈ (0,948683, 0,316228), q₂ ≈ (−0,316228, 0,948683)
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) → base orthonormée 3D complète, q₁ ≈ (0,707107, 0,707107, 0)
(1, 2) et (2, 4) → le second vecteur est dépendant et éliminé, rang 1
(1, 0), (0, 1) → reconnus comme déjà orthonormés, renvoyés tels quels

Questions fréquentes

Comment fonctionne la calculatrice Orthonormalisation de Gram-Schmidt ?

Saisissez vos valeurs et la calculatrice applique la méthode mathématique exacte pour ce problème, en affichant le résultat avec la formule utilisée. Tout est calculé avec une arithmétique de haute précision, la réponse affichée n'est donc pas limitée par les arrondis ordinaires de la virgule flottante.

Quand utiliser la calculatrice Orthonormalisation de Gram-Schmidt ?

Elle est utile pour les devoirs et la préparation aux examens, pour vérifier un travail fait à la main, et chaque fois qu'une étape d'un problème plus large nécessite ce calcul rapidement et de manière fiable.

Quelle est la précision des résultats ?

Les calculs s'exécutent en interne avec 30 chiffres significatifs de précision. Les valeurs affichées sont arrondies pour rester lisibles, mais le résultat sous-jacent est bien plus précis qu'un calcul typique à la main ou à la calculatrice de poche.

Puis-je partager un calcul précis avec quelqu'un d'autre ?

Oui. Chaque valeur que vous saisissez met à jour l'URL, donc copier la barre d'adresse et partager le lien rouvre exactement le même calcul pour la personne qui clique.