Китайська теорема про остачі

Розв’язуйте системи конгруенцій

x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7)

Найменший розв’язок x

Повторюється з періодом (модуль N)

105

Загальний розв’язок

x = 23 + 105·k, k ∈ ℤ

Система конгруенцій

x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)

Модулі попарно взаємно прості, тому існує єдиний розв’язок за модулем їхнього добутку (класична теорема).

Про цей калькулятор

Калькулятор китайської теореми про остачі розв’язує систему конгруенцій x ≡ aᵢ (mod nᵢ). Він повертає найменший невід’ємний розв’язок і модуль, з яким розв’язок повторюється, працює навіть тоді, коли модулі не попарно взаємно прості (повертаючи найменше спільне кратне), і повідомляє, коли розв’язку не існує. Числова пряма й схема решета показують, як множини розв’язків окремих конгруенцій сходяться у відповіді.

«Китайська теорема про остачі»: як користуватися

Введіть значення своєї задачі в поля введення.
Перегляньте результат — він оновлюється миттєво під час введення.
Перегляньте формулу й наочне пояснення, щоб простежити, як знайдено відповідь.
Скопіюйте URL сторінки, щоб поділитися саме цим розрахунком.

Типові приклади

x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105)
x ≡ 1 (mod 4), x ≡ 2 (mod 5) → x = 17 (mod 20)
x ≡ 2 (mod 6), x ≡ 8 (mod 10) → x = 8 (mod 30), модулі не взаємно прості
x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 0 (mod 4) → розв’язку немає (несумісні)
x ≡ 0 (mod 3), x ≡ 0 (mod 4), x ≡ 0 (mod 5) → x = 0 (mod 60)

Поширені запитання

«Китайська теорема про остачі»: як це працює?

Введіть свої значення, і калькулятор застосує точний математичний метод для цієї задачі, показавши результат разом із використаною формулою. Усе обчислюється з високою точністю, тож відповідь не обмежена звичайним округленням чисел з плаваючою комою.

«Китайська теорема про остачі»: коли це знадобиться?

Для домашніх завдань і підготовки до іспитів, для перевірки розв’язків, зроблених вручну, і щоразу, коли крок у більшій задачі потребує швидкого й надійного виконання цього обчислення.

Наскільки точні результати?

Внутрішні обчислення виконуються з точністю до 30 значущих цифр. Показані значення округлюються для зручності читання, але сам результат набагато точніший за типове обчислення вручну чи на кишеньковому калькуляторі.

Чи можна поділитися конкретним розрахунком з кимось?

Так. Кожне введене значення оновлює URL, тож достатньо скопіювати адресний рядок і надіслати посилання — той, хто його відкриє, побачить точно такий самий розрахунок.