Chińskie twierdzenie o resztach

Rozwiązuj układy kongruencji

x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7)

Najmniejsze rozwiązanie x

Powtarza się co (moduł N)

105

Rozwiązanie ogólne

x = 23 + 105·k, k ∈ ℤ

Układ kongruencji

x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)

Moduły są parami względnie pierwsze, więc istnieje jedno rozwiązanie modulo ich iloczyn (klasyczne twierdzenie).

O tym kalkulatorze

Kalkulator chińskiego twierdzenia o resztach rozwiązuje układ kongruencji x ≡ aᵢ (mod nᵢ). Zwraca najmniejsze nieujemne rozwiązanie i moduł, z jakim rozwiązanie się powtarza, działa także wtedy, gdy moduły nie są parami względnie pierwsze (zwracając najmniejszą wspólną wielokrotność, NWW), i informuje, gdy rozwiązanie nie istnieje. Oś liczbowa i diagram sita pokazują, jak zbiory rozwiązań poszczególnych kongruencji spotykają się w odpowiedzi.

Chińskie twierdzenie o resztach: instrukcja obsługi

Wpisz wartości swojego zadania w pola wejściowe.
Odczytaj wynik — aktualizuje się natychmiast podczas wpisywania.
Sprawdź wzór i wizualne objaśnienie, aby zobaczyć, jak uzyskano odpowiedź.
Skopiuj adres URL strony, aby udostępnić dokładnie to obliczenie.

Typowe przykłady

x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105)
x ≡ 1 (mod 4), x ≡ 2 (mod 5) → x = 17 (mod 20)
x ≡ 2 (mod 6), x ≡ 8 (mod 10) → x = 8 (mod 30), moduły nie są względnie pierwsze
x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 0 (mod 4) → brak rozwiązania (sprzeczność)
x ≡ 0 (mod 3), x ≡ 0 (mod 4), x ≡ 0 (mod 5) → x = 0 (mod 60)

Najczęściej zadawane pytania

Chińskie twierdzenie o resztach: jak to działa?

Wpisz swoje wartości, a kalkulator zastosuje dokładną metodę matematyczną właściwą dla tego zadania i pokaże wynik razem z użytym wzorem. Wszystko jest liczone w arytmetyce wysokiej precyzji, więc wynik nie jest ograniczony zwykłymi zaokrągleniami liczb zmiennoprzecinkowych.

Chińskie twierdzenie o resztach: kiedy się przydaje?

Przydaje się przy odrabianiu lekcji i przygotowaniach do egzaminów, do sprawdzania obliczeń wykonanych ręcznie oraz zawsze wtedy, gdy jeden z kroków większego zadania wymaga szybkiego i pewnego wykonania tego obliczenia.

Jak dokładne są wyniki?

Obliczenia są wykonywane wewnętrznie z dokładnością do 30 cyfr znaczących. Wyświetlane wartości są zaokrąglane dla czytelności, ale wynik w tle jest znacznie dokładniejszy niż typowe obliczenia ręczne czy na kalkulatorze kieszonkowym.

Czy mogę udostępnić komuś konkretne obliczenie?

Tak. Każda wpisana wartość aktualizuje adres URL, więc wystarczy skopiować adres z paska przeglądarki i wysłać link — każdy, kto go otworzy, zobaczy dokładnie to samo obliczenie.