Градиент и производная по направлению

Вектор градиента и производная по направлению для поверхности

f(x, y) = x^2 + y^2 Dᵤf = ∇f · û

Градиент ∇f

(2, 4)

Модуль |∇f|

4,472135955

Наибольшая скорость возрастания — наклон в направлении наискорейшего подъёма.

Производная по направлению Dᵤf

Единичное направление û

(1, 0)

f в точке

Угол наискорейшего подъёма

63,43494882°

Угол между ∇f и û

63,43494882°

Dᵤf = ∇f · û = |∇f|·cos θ — проекция градиента на выбранное направление.

Об этом калькуляторе

Калькулятор градиента и производной по направлению вычисляет градиент ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) скалярного поля f(x, y) в точке и показывает частные производные, модуль |∇f| (наибольший наклон) и направление наискорейшего подъёма в градусах. Если задать вектор направления, он нормируется до û, и вычисляется производная по направлению D_û f = ∇f · û, а также угол между û и градиентом. Нулевой градиент помечается как критическая точка, а о нулевом векторе направления сообщается, а не делится на него.

«Градиент и производная по направлению»: как пользоваться

Введите значения для вашей задачи в поля ввода.
Посмотрите результат — он обновляется мгновенно по мере ввода.
Изучите формулу и наглядное объяснение, чтобы понять, как получен ответ.
Скопируйте URL страницы, чтобы поделиться именно этим расчётом.

Типичные примеры

f = x² + y² в (1, 2) → ∇f = (2, 4), |∇f| ≈ 4,4721, наискорейший подъём ≈ 63,43°
Та же точка в направлении (1, 0) → производная по направлению D_û f = 2
f = xy в (2, 3) в направлении (1, 1) → D_û f ≈ 3,5355 при |∇f| ≈ 3,6056
x² + y² в начале координат → ∇f = 0: критическая точка, направления наискорейшего подъёма нет

Часто задаваемые вопросы

«Градиент и производная по направлению»: как это работает?

Введите значения, и калькулятор применит точный математический метод для этой задачи, показав результат вместе с использованной формулой. Всё вычисляется с высокой точностью, поэтому ответ не ограничен обычными ошибками округления чисел с плавающей точкой.

«Градиент и производная по направлению»: когда пригодится?

Он полезен для домашних заданий и подготовки к экзаменам, для проверки вычислений, сделанных вручную, и всякий раз, когда в более крупной задаче нужно быстро и надёжно выполнить этот расчёт.

Насколько точны результаты?

Внутренние вычисления ведутся с точностью 30 значащих цифр. Отображаемые значения округляются для удобства чтения, но сам результат гораздо точнее, чем при обычном расчёте вручную или на карманном калькуляторе.

Можно ли поделиться конкретным расчётом с кем-то?

Да. Каждое введённое значение обновляет URL, поэтому достаточно скопировать адресную строку и отправить ссылку — у получателя откроется точно такой же расчёт.