Ортонормализация Грама — Шмидта

Ортонормализуйте набор векторов

Об этом калькуляторе

Калькулятор ортонормализации Грама — Шмидта превращает до четырёх 2D- или 3D-векторов в ортонормированный базис с помощью модифицированного процесса Грама — Шмидта в 30-значной десятичной арифметике. Показан каждый шаг: коэффициенты проекций, вычитаемые из каждого вектора, ортогональный остаток, его норма и итоговый единичный вектор. Линейно зависимые векторы обнаруживаются и исключаются (ранг уменьшается), уже ортонормированные наборы распознаются, а невязка взаимной ортогональности подтверждает результат.

«Ортонормализация Грама — Шмидта»: как пользоваться

  1. Введите значения для вашей задачи в поля ввода.
  2. Посмотрите результат — он обновляется мгновенно по мере ввода.
  3. Изучите формулу и наглядное объяснение, чтобы понять, как получен ответ.
  4. Скопируйте URL страницы, чтобы поделиться именно этим расчётом.

Типичные примеры

  • (3, 1), (2, 2) → q₁ ≈ (0.948683, 0.316228), q₂ ≈ (−0.316228, 0.948683)
  • (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) → полный ортонормированный базис в 3D, q₁ ≈ (0.707107, 0.707107, 0)
  • (1, 2) и (2, 4) → второй вектор зависимый и исключается, ранг 1
  • (1, 0), (0, 1) → распознаются как уже ортонормированные и возвращаются без изменений

Часто задаваемые вопросы

«Ортонормализация Грама — Шмидта»: как это работает?

Введите значения, и калькулятор применит точный математический метод для этой задачи, показав результат вместе с использованной формулой. Всё вычисляется с высокой точностью, поэтому ответ не ограничен обычными ошибками округления чисел с плавающей точкой.

«Ортонормализация Грама — Шмидта»: когда пригодится?

Он полезен для домашних заданий и подготовки к экзаменам, для проверки вычислений, сделанных вручную, и всякий раз, когда в более крупной задаче нужно быстро и надёжно выполнить этот расчёт.

Насколько точны результаты?

Внутренние вычисления ведутся с точностью 30 значащих цифр. Отображаемые значения округляются для удобства чтения, но сам результат гораздо точнее, чем при обычном расчёте вручную или на карманном калькуляторе.

Можно ли поделиться конкретным расчётом с кем-то?

Да. Каждое введённое значение обновляет URL, поэтому достаточно скопировать адресную строку и отправить ссылку — у получателя откроется точно такой же расчёт.