Arytmetyka modularna

Reszta modulo, odwrotność modularna i własności

17 mod 5 · a⁻¹ such that a · a⁻¹ ≡ 1 (mod 5)

a mod m

Najmniejsza nieujemna reszta, z zakresu od 0 do m − 1

NWD(a, m)

Względnie pierwsze

Tak — a jest odwracalne modulo m

Element odwrotny a⁻¹ (mod m)

a · a⁻¹ ≡ 1 (mod m)

Tożsamość Bézouta

17·(-2) + 5·(7) = 1

O tym kalkulatorze

Kalkulator arytmetyki modularnej redukuje liczbę całkowitą a modulo m do najmniejszej nieujemnej reszty z przedziału [0, m), oblicza NWD(a, m) i — gdy a i m są względnie pierwsze — znajduje element odwrotny a⁻¹ (mod m) rozszerzonym algorytmem Euklidesa. Podaje też współczynniki Bézouta x, y, dla których a·x + m·y = NWD(a, m). Ujemne dane są poprawnie redukowane do nieujemnej reszty, a gdy element odwrotny nie istnieje, zamiast wymuszonej odpowiedzi pokazywany jest wspólny dzielnik.

Arytmetyka modularna: instrukcja obsługi

Wpisz wartości swojego zadania w pola wejściowe.
Odczytaj wynik — aktualizuje się natychmiast podczas wpisywania.
Sprawdź wzór i wizualne objaśnienie, aby zobaczyć, jak uzyskano odpowiedź.
Skopiuj adres URL strony, aby udostępnić dokładnie to obliczenie.

Typowe przykłady

27 mod 5 → reszta 2, NWD 1, element odwrotny 3 (27·3 = 81 ≡ 1 mod 5)
3 mod 7 → element odwrotny 5, ponieważ 3·5 = 15 ≡ 1 (mod 7)
−13 mod 10 → reszta 7, element odwrotny 3
4 mod 6 → NWD 2, liczby nie są względnie pierwsze: element odwrotny nie istnieje

Najczęściej zadawane pytania

Arytmetyka modularna: jak to działa?

Wpisz swoje wartości, a kalkulator zastosuje dokładną metodę matematyczną właściwą dla tego zadania i pokaże wynik razem z użytym wzorem. Wszystko jest liczone w arytmetyce wysokiej precyzji, więc wynik nie jest ograniczony zwykłymi zaokrągleniami liczb zmiennoprzecinkowych.

Arytmetyka modularna: kiedy się przydaje?

Przydaje się przy odrabianiu lekcji i przygotowaniach do egzaminów, do sprawdzania obliczeń wykonanych ręcznie oraz zawsze wtedy, gdy jeden z kroków większego zadania wymaga szybkiego i pewnego wykonania tego obliczenia.

Jak dokładne są wyniki?

Obliczenia są wykonywane wewnętrznie z dokładnością do 30 cyfr znaczących. Wyświetlane wartości są zaokrąglane dla czytelności, ale wynik w tle jest znacznie dokładniejszy niż typowe obliczenia ręczne czy na kalkulatorze kieszonkowym.

Czy mogę udostępnić komuś konkretne obliczenie?

Tak. Każda wpisana wartość aktualizuje adres URL, więc wystarczy skopiować adres z paska przeglądarki i wysłać link — każdy, kto go otworzy, zobaczy dokładnie to samo obliczenie.