Ортонормалізація Грама — Шмідта

Ортонормалізуйте набір векторів

qₖ = (vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ) / ‖vₖ − Σⱼ ⟨vₖ, qⱼ⟩ qⱼ‖

Ортонормований базис

q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)

q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)

q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Незалежні вектори

3 з 3

Похибка ортогональності

≈ 0

Ортонормованість перевірено

Процес Грама — Шмідта

v₁ = (1, 1, 0)
Довжина ‖u₁‖ = 1,4142
q₁ = (0,7071, 0,7071, 0)
v₂ = (1, 0, 1)
− 0,7071·q₁
Довжина ‖u₂‖ = 1,2247
q₂ = (0,4082, -0,4082, 0,8165)
v₃ = (0, 1, 1)
− 0,7071·q₁ − 0,4082·q₂
Довжина ‖u₃‖ = 1,1547
q₃ = (-0,5774, 0,5774, 0,5774)

Про цей калькулятор

Калькулятор ортонормалізації Грама — Шмідта перетворює до чотирьох 2D- або 3D-векторів на ортонормований базис модифікованим процесом Грама — Шмідта в 30-значній десятковій арифметиці. Показано кожен крок: коефіцієнти проєкцій, вилучені з кожного вектора, ортогональний залишок, його норму та кінцевий одиничний вектор. Лінійно залежні вхідні вектори виявляються й відкидаються (зменшуючи ранг), уже ортонормовані набори розпізнаються, а похибка взаємної ортогональності підтверджує результат.

«Ортонормалізація Грама — Шмідта»: як користуватися

Введіть значення своєї задачі в поля введення.
Перегляньте результат — він оновлюється миттєво під час введення.
Перегляньте формулу й наочне пояснення, щоб простежити, як знайдено відповідь.
Скопіюйте URL сторінки, щоб поділитися саме цим розрахунком.

Типові приклади

(3, 1), (2, 2) → q₁ ≈ (0.948683, 0.316228), q₂ ≈ (−0.316228, 0.948683)
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) → повний ортонормований базис 3D, q₁ ≈ (0.707107, 0.707107, 0)
(1, 2) і (2, 4) → другий вектор залежний і відкинутий, ранг 1
(1, 0), (0, 1) → розпізнано як уже ортонормований, повернуто без змін

Поширені запитання

«Ортонормалізація Грама — Шмідта»: як це працює?

Введіть свої значення, і калькулятор застосує точний математичний метод для цієї задачі, показавши результат разом із використаною формулою. Усе обчислюється з високою точністю, тож відповідь не обмежена звичайним округленням чисел з плаваючою комою.

«Ортонормалізація Грама — Шмідта»: коли це знадобиться?

Для домашніх завдань і підготовки до іспитів, для перевірки розв’язків, зроблених вручну, і щоразу, коли крок у більшій задачі потребує швидкого й надійного виконання цього обчислення.

Наскільки точні результати?

Внутрішні обчислення виконуються з точністю до 30 значущих цифр. Показані значення округлюються для зручності читання, але сам результат набагато точніший за типове обчислення вручну чи на кишеньковому калькуляторі.

Чи можна поділитися конкретним розрахунком з кимось?

Так. Кожне введене значення оновлює URL, тож достатньо скопіювати адресний рядок і надіслати посилання — той, хто його відкриє, побачить точно такий самий розрахунок.